Der prozentuale Fehler, auch bekannt als prozentuale Abweichung, ist ein Maß für die Diskrepanz zwischen einem gemessenen oder geschätzten Wert und einem als Referenz dienenden, exakten Wert. Er wird als Prozentsatz ausgedrückt und zeigt somit das Verhältnis der Abweichung zum Referenzwert an. Die Berechnung erfolgt durch Division der Differenz zwischen dem gemessenen und dem exakten Wert durch den exakten Wert und anschließende Multiplikation mit 100, um den Prozentsatz zu erhalten.
Dieser Fehler kann entweder absolut oder relativ dargestellt werden. Ursachen für Fehler können vielfältig sein, darunter Ungenauigkeiten von Messinstrumenten, Rechenfehler, menschliche Messungenauigkeiten oder auch äußere Einflüsse wie die Umgebungsbedingungen.
Die Bestimmung des prozentualen Fehlers ermöglicht es, die Bedeutung von Fehlern in einer Analyse zu bewerten. Ein geringer prozentualer Fehler deutet darauf hin, dass die Messung oder Schätzung nahe am Referenzwert liegt, während ein hoher prozentualer Fehler auf eine signifikante Abweichung hinweist. So würde beispielsweise ein Fehler von 2 % bedeuten, dass der ermittelte Wert sehr nahe am tatsächlichen Wert liegt, während ein Fehler von 56 % eine erhebliche Diskrepanz bedeuten würde.
Messfehler sind unvermeidlich, da Faktoren wie zitternde Hände, ungenaue Instrumente oder Materialungenauigkeiten die Messergebnisse beeinflussen können.
Die Berechnung des prozentualen Fehlers
Zur Ermittlung des prozentualen Fehlers sind zwei Größen erforderlich: der genaue Wert (Referenzwert) und der angenäherte Wert (gemessener oder geschätzter Wert). Der erste Schritt ist die Berechnung der Differenz zwischen diesen beiden Werten. Anschließend wird diese Differenz durch den genauen Wert geteilt. Um den prozentualen Fehler zu erhalten, wird das Ergebnis mit 100 multipliziert. Der prozentuale Fehler ist somit das Produkt aus dem relativen Fehler und 100.
Formel: Prozentualer Fehler = [(Gemessener Wert – Erwartungswert) / Erwartungswert] × 100
Erläuterung der Formelbestandteile
Der Istwert: Dies ist der korrekte, numerische Wert der Messung. Er stellt den Wert dar, der idealerweise bei einer fehlerfreien Messung erhalten worden wäre. Dieser Wert dient als Bezugsgröße für die Berechnung und ist der Zielwert.
Der Erwartungswert: Dieser Wert ist das Ergebnis einer Messung oder Schätzung. Aufgrund von unvermeidlichen Fehlern weicht er oft vom Istwert ab. Die Fehler können aus verschiedenen Quellen stammen, wie Maschinenfehler, Messungenauigkeiten oder auch Umwelteinflüsse.
Beispiele zur Veranschaulichung
Beispiel 1
Ein Schüler misst die Fläche eines Dreiecks und kommt auf einen Wert von 462 cm². Die korrekte Fläche beträgt jedoch 465 cm². Berechnen Sie den prozentualen Fehler.
Lösung:
Gemessene Fläche: 462 cm²
Tatsächliche Fläche: 465 cm²
Berechnung:
Differenz (Istwert – Messwert): 465 – 462 = 3
Der Messfehler beträgt somit 3 cm².
Fehler geteilt durch tatsächlichen Wert: 3 / 465 = 0,00645
Multiplikation mit 100: 0,00645 x 100 = 0,64 %
Der prozentuale Fehler bei der Flächenberechnung des Dreiecks beträgt also 0,64 %.
Beispiel 2
Nehmen wir an, Sie planen eine Party und schätzen 20 Teilnehmer. Es kommen jedoch nur 18 Personen. Berechnen Sie den prozentualen Fehler Ihrer Schätzung.
Lösung:
Erwartete Anzahl der Gäste: 20
Tatsächliche Anzahl der Gäste: 18
Berechnung:
Differenz (Istwert – Endwert): 20 – 18 = 2
Der Fehler beträgt in diesem Fall 2 Personen.
Fehler geteilt durch tatsächlichen Wert: 2 / 20 = 0,1
Multiplikation mit 100: 0,1 x 100 = 10 %
Der prozentuale Fehler bei der Gästeschätzung beträgt somit 10 %.
Beispiel 3
Sie führen ein Experiment zur Bestimmung des Siedepunkts von Wasser durch und erhalten als Ergebnis 102 °C. Der tatsächliche Siedepunkt von Wasser beträgt 100 °C.
Lösung:
Tatsächlicher Siedepunkt: 100 °C
Gemessener Siedepunkt: 102 °C
Berechnung:
Differenz (Absolutwert, da negativer Prozentfehler nicht existiert): 100 – 102 = 2 °C
Der Fehler beträgt also 2 °C.
Fehler geteilt durch tatsächlichen Wert: 2 / 100 = 0,02
Multiplikation mit 100: 0,02 x 100 = 2 %
Der prozentuale Fehler bei der Messung des Siedepunkts von Wasser beträgt somit 2 %.
Reale Anwendungsfälle des prozentualen Fehlers
- Der prozentuale Fehler spielt eine wichtige Rolle bei der Bewertung der Genauigkeit einer durchgeführten Aufgabe. Er ermöglicht es, Fehler zu identifizieren und zu quantifizieren.
- In Laboren und industriellen Anwendungen, wo höchste Präzision gefordert ist, ist der prozentuale Fehler ein wichtiges Instrument zur Qualitätskontrolle.
- Der prozentuale Fehler findet auch bei der Planung und Durchführung von großen Bestellungen Anwendung, um sicherzustellen, dass es keine Abweichungen zwischen den bestellten und gelieferten Mengen gibt.
- In wissenschaftlichen Labors ist die Kenntnis des prozentualen Fehlers von entscheidender Bedeutung, um zuverlässige Ergebnisse zu erzielen.
Prozentualer Fehler vs. Absoluter Fehler
Der absolute Fehler ist die Differenz zwischen dem tatsächlichen und dem gemessenen Wert. Die Einheit des absoluten Fehlers entspricht der Einheit der ursprünglichen Messgröße.
Beispiel:
Sie möchten 2 kg Mangos kaufen, aber der Händler wiegt 1,98 kg. Der absolute Fehler beträgt in diesem Fall 2 – 1,98 = 0,02 kg.
Der prozentuale Fehler hingegen wird berechnet, indem der absolute Fehler durch den tatsächlichen Wert geteilt und das Ergebnis mit 100 multipliziert wird. Der prozentuale Fehler ist eine dimensionslose Größe.
Im oben genannten Beispiel beträgt der absolute Fehler 0,02 kg.
Zur Berechnung des prozentualen Fehlers teilen wir 0,02 kg durch 2 kg: 0,02 / 2 = 0,01
Der prozentuale Fehler beträgt somit 0,01 x 100 = 1 %.
Prozentualer Fehler vs. Relativer Fehler
Der relative Fehler ist der Quotient aus dem absoluten Fehler und dem tatsächlichen Wert. Der prozentuale Fehler ist also der relative Fehler multipliziert mit 100. Er gibt den Fehler als Anteil des korrekten Wertes an.
Beispiel:
Der Wetterbericht sagt 38°C voraus, aber die tatsächliche Temperatur beträgt 42°C.
Zunächst berechnen wir die Differenz zwischen den beiden Werten: 42°C – 38°C = 4°C
Um den relativen Fehler zu berechnen, teilen wir diese Differenz durch den tatsächlichen Wert: 4°C / 38°C = 0,1052
Der prozentuale Fehler ist der relative Fehler multipliziert mit 100. Im oben genannten Beispiel beträgt der prozentuale Fehler also 0,1052 x 100 = 10,52 %.
Die Berechnung des prozentualen, relativen und absoluten Fehlers ist nun verständlich und leicht nachvollziehbar.
Zur Vereinfachung der Berechnung des prozentualen Fehlers können Sie verschiedene Online-Rechner verwenden. Diese Rechner nehmen Ihnen die manuelle Berechnung ab und liefern schnelle Ergebnisse.
Online-Tools zur Fehlerberechnung
#1. Rechnersuppe
Der Rechnersuppe ist ein praktisches Tool zur Berechnung des prozentualen Fehlers. Er erfordert lediglich die Eingabe des experimentellen und des tatsächlichen Wertes. Der Rechner führt die Berechnung selbstständig durch und liefert präzise Ergebnisse.
Auf der Website finden Sie Eingabefelder für die jeweiligen Werte. Nach Eingabe der Zahlen übernimmt der Rechner die restliche Berechnung.
#2. Rechner.net
Rechner.net bietet ebenfalls eine einfache Methode zur Berechnung des prozentualen Fehlers. Nach Eingabe der tatsächlichen und geschätzten Werte erledigt der Rechner den Rest der Berechnung. Dies ist besonders nützlich, wenn eine große Anzahl an Datensätzen ausgewertet werden muss und keine Zeit für die manuelle Berechnung des prozentualen Fehlers ist. Der Rechner liefert die Ergebnisse ohne große Verzögerung.
Prozentuale Fehler sind unvermeidbar. Sie können zwar minimiert werden, aber in der Praxis erreicht man selten einen prozentualen Fehler von exakt null. Er kann sich diesem Wert annähern, ihn jedoch nie perfekt erreichen.
#3. Gute Rechner
Zahlreiche Online-Rechner stehen zur Verfügung, um Probleme mit prozentualen Fehlern zu lösen. Eine praktische Option ist der Gute Rechner. Hier werden lediglich die geschätzten und ursprünglichen Werte eingegeben, und die Ergebnisse werden automatisch angezeigt.
Diese Rechner ersparen Ihnen den Aufwand umfangreicher Berechnungen und sparen somit Zeit. Sie können umfangreiche Berechnungen innerhalb von wenigen Sekunden durchführen und erhalten schnell die Ergebnisse.
Ein Online-Rechner ist ideal für die Berechnung des prozentualen Fehlers, insbesondere wenn große Datenmengen in kurzer Zeit ausgewertet werden müssen.
Fazit
Fehler bei Berechnungen können ein Projekt oder eine Forschungsarbeit komplett zunichtemachen. Hier können Online-Rechner für den prozentualen Fehler helfen, die Arbeit effizienter und ohne menschliche Fehler zu erledigen.
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